La paradoja del cumpleaños

imaginese que esta en una fiesta de cierto numero de personas. la pregunta es, cuantas personas cree que se necesiten para que 2 personas de la fiesta cumplan años el mismo dia y mes y que esta probabilidad sea 50% o mayor?

La sorprendente respuesta es 23. Un número tan reducido que se antoja casi paradójico respecto a todas las fechas posibles que hay en un año. Algo que en cierto modo desafía a la intuición, que a simple vista hace pensar que haría falta más gente.

esto se puede demostrar de la siguiente manera.

Demostración matemática

El resultado no es una paradoja matemática, es algo comprobable (fácilmente) matemáticamente. El calificativo de paradoja le viene por lo contrario que parece a la intuición.

Para calcular la probabilidad para cualquier número de personas (ya que si hay más de la probabilidad es , cosas de Z y t) la idea es calcular la probabilidad de que no haya dos personas que cumplan los años el mismo día. A esa probabilidad la llamaremos . Después calculamos la probabilidad de que haya alguna realizando la operación . Calculemos (tomaremos el año con 365 días):

Tomamos una de las personas del grupo. Esa persona cumplirá los años un cierto día. Tomamos otra de las personas. La probabilidad de que esta nueva persona no coincida en cumpleaños con la primera es (casos favorables: todos los días del año excepto el del cumpleaños de la primera persona; casos posibles: todos los días del año). Si tomamos otra persona más, la probabilidad de que no coincida con ninguna de las anteriores es (por la misma razón que antes). Tomando otra más la probabilidad de que no coincida con ninguna de las anteriores es , y así sucesivamente. Al ser sucesos independientes, la probabilidad de que ocurran todos ellos (que nadie coincida) es el producto de todas esas probabilidades. Para personas nos queda la siguiente expresión:

Usando factoriales podemos excribir esa expresión así:

Si esta es la probabilidad de que no haya dos personas que coincidan en cumpleaños, la probabilidad de que al menos haya una pareja que sí coincida será . Es decir, la probabilidad de que en una reunión de personas haya dos que cumplen los años el mismo día y el mismo mes es:

Con obtenemos una probabilidad de . Con ya pasamos el %, exactamente obtenemos una probabilidad de . Con , el del ejemplo del principio, estamos ya en .

Y no digo nada si aumentamos un poco más el número de personas del grupo. Os dejo unos cuantos resultados:

Para , la probabilidad es de , poco más del %.
Para , la probabilidad es de , poco más del %.
Para , la probabilidad es de , casi del %.
Para , la probabilidad es de , cerca del %.
Para , la probabilidad es de , más del %.
Para , la probabilidad es de , ¡¡más del %!!.

La cuestión es que generalmente cada persona tiende a imaginar la probabilidad de que, partiendo de una persona concreta, haya otra que coincida en cumpleaños con ella. La probabilidad de ésto es muy baja con 23 personas. La clave del tema es que hay multitud de posibles parejas que pueden formarse conforme vamos aumentando el número de personas del grupo. Por eso la probabilidad acaba siendo tan alta en un grupo tan pequeño.

asi que la proxima vez que haya 23 personas en una fiesta, compruebalo y explicalo ( aunque tambien podrias calcular la probabilidad de que mas del 50% de las personas entenderan lo que estas diciendo..) o bien, sigue con la fiesta.